2013. június 19. - Az emberek sok esetben szinte észre sem veszik a
természet azon csodáit, amelyek az ágak, levelek közt megbújva
rejtőzködnek szemünk elől.
A rovarvilág is tartogat olyan matematikai vénával rendelkező képviselőket, amelyek csodával felérő teljesítménye felér a felsőbb matematikát tanult emberek képességeivel is.
A kis rovar, az ormányos nyírbogár (Rhynchines betulae) a maga négy milliméteres hosszával olyan komplex feladatokat képes megoldani, amelyek sok egyetemi hallgatót is hosszas gondolkodásra késztetnek.
A kis rovar éli a mindennapi életét a nyír, éger, bükkfa levelein, és miközben fürgén mászkál, a levél középső erétől kiindulva, a szélek felé tartó mindkét irányba meglehetősen bonyolult útvonalon haladva, szétrágja a fa levelét. Nem céltalan ez a hatalmas munka, hiszen a következő lépésben az elrágott levélnek a csúcs irányába eső felét kis csővé göngyölíti, és ebbe rejti el a petéit. A rejtekhely megépítése gondos szülőre utal, hiszen így a petéket nem mossa le az eső, nem hevíti túl a Nap, nem csipegetik fel a madarak. A kis bölcsők lógnak a fa levelein és még ringatják is a jövendő utódokat. A feladat, amelyet a kis rovar mintegy félóra alatt elvégez, az ember számára nagyon sok számolást és rajzolást igényel.
Mi is lehet az a matematika, amely egy levél szétrágásában rejtőzködik? Ha megnézünk egy olyan levelet, amelyet az ormányos nyírbogár megrágott, akkor a rágás egy olyan alakú görbe, amelynek alakja függ a levél szélének görbületétől. A matematikával foglalkozó szakemberek azt mondják erre szaknyelven: a rágás görbéje, a levél szegélyének evolutája, vagy másképpen fogalmazva: a szegély vonala evolvense annak az idomnak, amelyet a kis matematikus ormányával megrajzolt.
Evoluta, evolvens egy levélen?
Ha ránézünk egy olyan ábrára, amelyen evoluta és evolvens látható, elsőre egy csigaház juthat eszükbe. Az ábrán két görbét látunk, ez egyik ABCDE, míg a másik abcde. Az aA, bB, cC, dD, eE egyenesek az abcde kör érintői, és merőlegesek az ABCDE görbére. Az ABCDE görbét nevezzük az abcde kör evolvensének, az abcde kört pedig az ABCDE görbe evolutájának.
Hogyan szerkeszthetünk evolvenst?
Egy kis ügyességgel meg is szerkeszthető pl. az abcde kör evolvense. Egy darab deszkából, bútorlapból az adott körrel azonos méretű korongot vágunk ki, és a papírra rögzítjük. A korongra az óramutató járásával ellentétes irányban egy cérnaszálat tekerünk fel, melynek a végére egy kis hurkot kötünk. A hurokba illesztjük a ceruza hegyét, majd a cérnaszálat mindig feszesen tartva, óvatosan letekerjük a cérnát a korongról. A ceruza hegye ekkor az evolvenst rajzolja ki.
Ha most egy adott evolvenshez szeretnénk evolutát szerkeszteni, akkor az evolvens elegendően számos pontjából a görbére merőlegeseket kell szerkeszteni. Ezek a merőlegesek egy sokszöget fognak közre, és ha a sokszögbe egy görbét szerkesztünk, megkapjuk az evolutát.
A nyírbogár így rágja a levelet
Az ormányos nyírbogár éppen az utóbbi megoldást választotta a bölcsők elkészítésekor. A levél fele az ABCDEFGH görbe, és az ABCDEFGHI lesz az a vonal, amihez az evolutát keressük. A pontokból az adott görbére merőlegeseket állítunk, így megkapjuk az abcdefg evolutát. A fenti eljárást követi az ormányos nyírbogár, amikor a levél egyik felét kiszabja. A másik felével gyorsabban végez, hiszen ráhajtja a már szabaddá tett, kiszabott levéldarabot a másikra, és egyszerűen átmásolja a görbét!
Matematikai remekművek viaszból
A méhkaptárak lakói szorgosan végzik munkájukat, hozzák a nektárt, a virágport, rendbentartják az életterüket, gondozzák a kicsinyeket. A lépek építése is fontos munkájuk, és biztosan nem matematikai összefüggéseket használnak miközben növekszik a méhsejt. Ha megfigyeljük a méhviaszból készült lép felépítését, egy sereg hatlapú viaszsejtet láthatunk, amelyek két rétegben helyezkednek el, és közös aljaikkal kapcsolódnak össze.
Hol van itt a matematika?
A sejtfenekek három egybevágó rombuszból állnak. Ez akkor szemlélhető meg leginkább, ha egy sejtet szemlélünk meg önmagában. A rombusz két-két szöge 109°28', és 70°32', a sejtek mélysége 11,3 mm, a sejt falának szélessége 2,71 mm, a vastagsága pedig egy átlagos irodai papírlap vastagságának felel meg. A méhsejt modelljének felépítéséhez felhasználhatjuk a sejt kiterített hálózatát.
Miért éppen a hatszöges formát választják?
A méhek nagyon célszerűen végzik munkájukat, az a törekvésük, hogy a kaptár belső terét a lehet leggazdaságosabb módon használják ki. Ehhez a sokszögek közül azt kell kiválasztaniuk, amellyel a kaptár területe hézagmentesen fedhető le.
A matematikusok közül Pitagorasz volt az, aki először foglalkozott ezzel a problémával: Mely szabályos sokszögek alkalmasak a sík lefedésére? Ha csak egy típust használunk, akkor a szabályos háromszögek, a négyzetek, és a szabályos hatszögek jöhetnek szóba. A többi sokszög is felhasználható, de ekkor legalább kétféle sejtet kell építeni (de célszerűen többfélét), ez viszont igen bonyolulttá teszi a munkát. A három mértani objektum közül a méhek a hatszöget választották. Mi ennek az oka? Azonos felület mellett a hatszögnek a legkisebb a kerülete! Ha hatszöges a sejt, akkor a legkisebb viaszfelhasználás mellett a legnagyobb térfogatú sejtek építhetőek.
Mit szólnak ehhez a matematikusok?
A korábban említett Pitagóraszon kívül a méhsejtek építésének módját csodálta Arisztotelész és Plinius Senior is. Ha most keresgélni kezdünk a különböző forrásokban, kik is foglalkoztak a témával, nagyon sok meglepetésben lesz részünk. Először egy francia csillagász, Maraldi neve kerül elő. Az ő nevéhez köti sok forrás a rombusz szögeinek pontos megállapítását.
Reaumur, a neves természettudós, akiről az egyik hőmérsékleti skálát is elnevezték, azt feltételezte, hogy a gazdaságos viaszfelhasználás az oka, hogy éppen így építik a méhek a sejteket. Egy svájci matematikust, Samuel Koeniget kérte meg, hogy számítsa ki, milyen arányok mellett adják a legkisebb felületet a rombuszokkal határolt csúcsok egy adott térfogat mellett. A számításokba a legenda szerint hiba csúszott, és a 2 szögperces tévedést egy másik tudós, MacLaurin korrigálta, és ő írta le a cikkben már említett, helyesnek tartott értékeket.
Miből épül a lép?
A mézet termelő méhek állítanak elő egy természetes viasz, a méhviaszt. Apró pelyhek formájában, a fiatal dolgozók választják ki a potrohuk hasi oldalán lévő mirigyekből. A kiválasztott méhviasz teljesen átlátszó, azonban fehér színt kap azután, hogy a méhek rágással képlékennyé teszik. A végső sárgás-barnás színt a virágporokban található olajok miatt, valamint a propolisz (más néven méhszurok) hatására nyeri el. A méhcsalád a lép építőanyagaként használja a méhviaszt, melyben a mézet, a virágport tárolja, valamint az utódok bölcsőjeként is szolgál.
Tudják-e a méhek a matematikát?
A fenti pontossággal valószínüleg nem is mérhetőek az adott szögértékek, és biztos, hogy a méhecskék sem tudnak minden egyes sejtet azonos pontosságúra építeni! Ha egy keretet szabadszemmel nézünk meg, akkor láthatóak is az eltérések. Zsigó Zsolt
